Cho các số thực dương a ; b ; c t/m \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le3\)
Tìm MIn : P = \(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+3c^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ac+3a^2+1}}\)
Cho các số thực dương a ; b ; c thỏa mãn : 1/a + 1/b + 1/c \(\le3\)
Tìm Min P = \(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+3c^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ac+3a^2+1}}\)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le3\). Tìm GTNN của biểu thức:
P=\(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+3c^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+3a^2+1}}\)
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
1 . Cho các số thực a, b, c dương thỏa mãn
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le3\)
Tính giá trị lớn nhất của biể thức: \(P=\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+3c^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ac+3a^2+1}}\)
2 .
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\le1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}\)
\(P=\sum\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2-ab+b^2+b^2+1}}\le\sum\frac{1}{\sqrt{ab+b^2+2b}}=\sum\frac{2}{\sqrt{4b\left(a+b+2\right)}}\)
\(\Rightarrow P\le\sum\left(\frac{1}{4b}+\frac{1}{a+b+1+1}\right)\le\sum\left(\frac{1}{4b}+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+1+1\right)\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{3}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{3}{8}\le\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
2.
\(1\ge\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge\frac{9}{3+a+b+c}\)
\(\Rightarrow a+b+c+3\ge6\Rightarrow a+b+c\ge6\)
\(P=\sum\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\sum\left(a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\right)\ge\sum\left(a-\frac{ab\left(a+b\right)}{3ab}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\sum\left(\frac{2a}{3}-\frac{b}{3}\right)=\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\frac{6}{3}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)
Ta có : \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\)
\(\Rightarrow a^2-ab+3b^2+1\ge\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\)
Lại có : \(\left(\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\right)\ge\left(\frac{a}{2}+\frac{5}{2}b+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}\ge\frac{a}{4}+\frac{5b}{4}+\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}\le\frac{4}{a+b+b+b+b+b+1+1}\le\frac{4}{64}\left(\frac{1}{a}+\frac{5}{b}+2\right)\)
Khi đó :
\(P\le\frac{1}{16}\left(6\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+6\right)\le\frac{3}{2}\)
Dấu " = " xay ra khi a=b=c=1
Vậy \(P_{Max}=\frac{3}{2}\) khi a=b=c=1
CHo các số dương a,b,c dương thỏa mã a+b+c=1.tìm gtln của \(A=\frac{\sqrt{3a}+2\sqrt{bc}}{1+\sqrt{bc}+3\sqrt{a+bc}}+\frac{\sqrt{3b}+2\sqrt{ca}}{1+\sqrt{ca}+3\sqrt{b+ca}}+\frac{\sqrt{3c}+2\sqrt{ab}}{1+\sqrt{ab}+3\sqrt{c+ab}}\)
cho 3 số thực dương a,b,c t/m \(2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{3}\)
tìm max \(P=\frac{1}{\sqrt{6a^2+3b^2}}+\frac{1}{\sqrt{6b^2+3c^2}}+\frac{1}{\sqrt{6c^2+3a^2}}\)
Help
Lời giải:
Để nhìn biểu thức cho đơn giản, ta đảo \((a,b,c)\mapsto \left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)\)
Bài toán trở thành:
Cho \(a,b,c>0\) thỏa mãn \(2(a^2+b^2+c^2)=ab+bc+ac+\frac{1}{3}\)
Tìm max của \(P=\sum\frac{ab}{\sqrt{6b^2+3a^2}}\)
--------------------------------------------------------------------------------
Áp dụng BĐt Cauchy-Schwarz:
\((6b^2+3a^2)(2+1)\geq (2\sqrt{3}b+\sqrt{3}a)^2\) \(\Rightarrow \frac{ab}{\sqrt{6b^2+3a^2}}\leq\frac{ab}{2b+a}\)
Thiết lập tương tự với các phân thức còn lại:
\(\Rightarrow P\leq \frac{ab}{2b+a}+\frac{bc}{2c+b}+\frac{ac}{2a+c}\) $(1)$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: \(ab\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)\geq \frac{9ab}{2b+a}\)
Tương tự... \(\Rightarrow \frac{ab}{2b+a}+\frac{bc}{2c+b}+\frac{ac}{2c+a}\leq \frac{a+b+c}{3}\) $(2)$
Mặt khác, ta biết rằng \((a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\) nên từ đkđb \(2(a^2+b^2+c^2)=ab+bc+ac+\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow 2(a+b+c)^2=5(ab+bc+ac)+\frac{1}{3}\leq \frac{5(a+b+c)^2}{3}+\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow a+b+c\leq 1\) $(3)$
Từ \((1),(2),(3)\Rightarrow P\leq\frac{1}{3}\)
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3.CMR:\(\sqrt{\frac{a}{3b^2+1}}+\sqrt{\frac{b}{3c^2+1}}+\sqrt{\frac{c}{3a^2+1}}\ge\frac{3}{2}\)
Sang học 24 tìm ai tên Perfect Blue nhé t làm bên đó rồi đưa link thì lỗi ==" , tìm tên đăng nhập springtime ấy
Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{1}{\sqrt{3a^2+4ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{3b^2+4bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{3c^2+4ca+a^2}}\)
\(3a^2+4ab+b^2=3a^2+3ab+ab+b^2=3a\left(a+b\right)+b\left(a+b\right)=\left(3a+b\right)\left(a+b\right)\)
xong AM -GM
Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{1}{\sqrt{3a^2+4ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{3b^2+4bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{3c^2+4ca+a^2}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{3a^2+4ab+b^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(3a+b\right)}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{\left(2a+2b\right)\left(3a+b\right)}}\)
\(\ge\dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{2a+2b+3a+b}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{5a+3b}{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{5a+3b}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{3b^2+4bc+c^2}}\ge\dfrac{2\sqrt{2}}{5b+3c};\dfrac{1}{\sqrt{3c^2+4ca+a^2}}\ge\dfrac{2\sqrt{2}}{5c+3a}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(P\ge\dfrac{2\sqrt{2}}{5a+3b}+\dfrac{2\sqrt{2}}{5b+3c}+\dfrac{2\sqrt{2}}{5c+3a}\)
\(\ge\dfrac{18\sqrt{2}}{8\left(a+b+c\right)}=\dfrac{18\sqrt{2}}{8}=\dfrac{9\sqrt{2}}{4}\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng
\(\sqrt{\frac{a}{3b+1}}+\sqrt{\frac{b}{3c+1}}+\sqrt{\frac{c}{3a+1}}\ge\frac{3}{2}\)